对于一个函数,
如果一个点存在,只是一个最弱的关系,只能保证一个点的存在性,而没有和其他的点产生关联性,彼此是孤立的关系
如果一个点处是连续的,他和周围临近的点就会产生连续的关系,数学表达式为,这个表达式的含义为,当可以充分接近这个目标结点的话,他的值也会无限的靠近.所以对于可去间断点的定义,只要补充完整,则可认为在该点也是处于连续的.
如果一个点在该点是可导的,简要的说,当自变量在处加一个增量,可得函数的增量,如果增量与自变量增量的比值在时极限存在,则称函数f(x)在处可导,并且称这个极限为函数在处的导数.(判断的充要条件: ,也就是该点处左右导数极限存在且相等,自然这就排除了两种可能,一是这样在0点的极限不同,二是导数为无穷的情况,也就是切线为竖直线,),前面列举的两个例子,都可以得出 连续必可导是个错误的引论.切线的连续性,实际上就是规范化连续的作用,防止,一个函数的连续过于的放纵(就是趋于无限或左右不等的情况).
img
可导,且在一点的极限存在,则导函数中该点必定连续,(在函数中显然不成立)证明的就是利用导数的定义,然后得出是0/0型,同时得到最后表达实则为连续的定义,得证,所以导函数和函数还是有很大区别的,关键在于导函数的出身就是从一个连续的函数转变过来的
介值定理:在上连续,当,存在使得.
导数零点定理:可导,当,存在使得
导数的介值定理,如果函数在区间可导,,则存在,介于之间.原因就是由于导数是切线的连续变化,所以相当于中间的任何一个值都可以取到,下面是两个重要推论,很精彩!!!
间断点的定义:需要知道的是,间断点是未定义的点或者分段点
什么是可导,为什么有的不可导,为什么连续就不一定可导,可导为什么一定是连续,导函数为什么一定连续(有可能存在振荡间断点),导函数连续为什么可积,为什么不一定连续的函数也可积,